5. Упростите выражение: (x²-16)/(8x) * (4x)/(x+4)

Решение:

Для упрощения выражения разложим числитель первой дроби на множители по формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), где \(a=x\) и \(b=4\):

\[ x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \]

Теперь подставим разложенный множитель в исходное выражение:

\[ \frac{(x-4)(x+4)}{8x} \cdot \frac{4x}{x+4} \]

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Заметим, что \(x
e 0\) и \(x
e -4\) для существования дробей.

Сокращаем \(x+4\) и \(4x\):

\[ \frac{(x-4)\cancel{(x+4)}}{8\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{4x}}{\cancel{x+4}} \]

У нас остаётся:

\[ \frac{x-4}{8} \cdot 4 \]

Теперь сокращаем 8 и 4:

\[ \frac{x-4}{2} \cdot 1 \]

Итоговое упрощенное выражение:

\[ \frac{x-4}{2} \]

Ответ: \(\frac{x-4}{2}\).