5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 26, знаменатель прогрессии равен 3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Решение:

Пусть \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии, \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель прогрессии.

Известно:

• \( S_3 = 26 \)
• \( q = 3 \)

Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Сначала найдем \( b_1 \), используя данные для \( S_3 \):

\[ S_3 = \frac{b_1(3^3 - 1)}{3 - 1} = 26 \]

\[ \frac{b_1(27 - 1)}{2} = 26 \]

\[ \frac{b_1 · 26}{2} = 26 \]

\[ b_1 · 13 = 26 \]

\[ b_1 = \frac{26}{13} = 2 \]

Теперь, зная \( b_1 = 2 \) и \( q = 3 \), найдем сумму первых шести членов \( S_6 \):

\[ S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} \]

\[ S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} \]

Вычислим \( 3^6 \):

\[ 3^6 = 729 \]

Подставим это значение:

\[ S_6 = \frac{2(729 - 1)}{2} = \frac{2 · 728}{2} = 728 \]

Ответ: S₆ = 728.