4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₅ = 0,5 и b₇ = 0,005. Найдите ее первый член.

Решение:

Мы знаем, что для геометрической прогрессии верно равенство \( b_n = b_k · q^{n-k} \). Используем данные нам члены прогрессии \( b_5 = 0.5 \) и \( b_7 = 0.005 \) для нахождения знаменателя \( q \).

\[ b_7 = b_5 · q^{7-5} \]

\[ 0.005 = 0.5 · q^2 \]

Разделим обе части на 0.5, чтобы найти \( q^2 \):

\[ q^2 = \frac{0.005}{0.5} = \frac{5}{500} = \frac{1}{100} \]

Теперь найдем \( q \):

\[ q = ±√\frac{1}{100} = ±\frac{1}{10} \]

Теперь, зная \( q \), найдем \( b_1 \), используя формулу \( b_n = b_1 · q^{n-1} \). Возьмем \( b_5 = 0.5 \):

\[ b_5 = b_1 · q^{5-1} \]

\[ 0.5 = b_1 · q^4 \]

Рассмотрим два случая для \( q \).

Случай 1: \( q = \frac{1}{10} \)

\[ 0.5 = b_1 · \bigg(\frac{1}{10}\bigg)^4 \]

\[ 0.5 = b_1 · \frac{1}{10000} \]

\[ b_1 = 0.5 · 10000 = 5000 \]

Случай 2: \( q = -\frac{1}{10} \)

\[ 0.5 = b_1 · \bigg(-\frac{1}{10}\bigg)^4 \]

\[ 0.5 = b_1 · \frac{1}{10000} \]

\[ b_1 = 0.5 · 10000 = 5000 \]

В обоих случаях \( b_1 = 5000 \).

Ответ: b₁ = 5000.