5. Решите задачу: Моторная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению реки, затратив на весь путь 14 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Краткая запись:

• Расстояние против течения: 45 км
• Расстояние по течению: 45 км
• Общее время: 14 ч
• Скорость течения: 2 км/ч
• Найти: Собственную скорость лодки (v) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим собственную скорость лодки как \( v \) км/ч.
2. Шаг 2: Скорость лодки против течения: \( v - 2 \) км/ч.
3. Шаг 3: Скорость лодки по течению: \( v + 2 \) км/ч.
4. Шаг 4: Время в пути против течения: \( t_1 = \frac{45}{v-2} \) ч.
5. Шаг 5: Время в пути по течению: \( t_2 = \frac{45}{v+2} \) ч.
6. Шаг 6: Общее время в пути равно 14 часам:
   \( t_1 + t_2 = 14 \)
   \( \frac{45}{v-2} + \frac{45}{v+2} = 14 \)
7. Шаг 7: Приведем дроби к общему знаменателю \( (v-2)(v+2) = v^2 - 4 \):
   \( \frac{45(v+2) + 45(v-2)}{v^2-4} = 14 \)
8. Шаг 8: Раскроем скобки в числителе:
   \( \frac{45v + 90 + 45v - 90}{v^2-4} = 14 \)
9. Шаг 9: Упростим числитель:
   \( \frac{90v}{v^2-4} = 14 \)
10. Шаг 10: Умножим обе части на \( v^2 - 4 \):
    \( 90v = 14(v^2-4) \)
    \( 90v = 14v^2 - 56 \)
11. Шаг 11: Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
    \( 14v^2 - 90v - 56 = 0 \)
12. Шаг 12: Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
    \( 7v^2 - 45v - 28 = 0 \)
13. Шаг 13: Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
    \( D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) \)
    \( D = 2025 + 784 \)
    \( D = 2809 \)
14. Шаг 14: Найдем \( \sqrt{D} \):
    \( \sqrt{2809} = 53 \)
15. Шаг 15: Найдем корни уравнения по формуле \( v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
    \( v_1 = \frac{45 + 53}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7 \)
    \( v_2 = \frac{45 - 53}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \)
16. Шаг 16: Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.
    \( v = 7 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки: 7 км/ч.