5. Решите неравенство 3²ˣ⁻² + 3²ˣ > 30

Решение:

Для решения неравенства \( 3^{2x-2} + 3^{2x} > 30 \) сначала преобразуем его.

1. Вынесем общий множитель \( 3^{2x} \) за скобки. Вспомним свойство степеней \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \):

\( 3^{2x} · 3^{-2} + 3^{2x} > 30 \)

\( 3^{2x} · \frac{1}{3^2} + 3^{2x} > 30 \)

\( 3^{2x} · \frac{1}{9} + 3^{2x} > 30 \)

2. Вынесем \( 3^{2x} \) за скобки:

\( 3^{2x} (\frac{1}{9} + 1) > 30 \)

\( 3^{2x} (\frac{1}{9} + \frac{9}{9}) > 30 \)

\( 3^{2x} (\frac{10}{9}) > 30 \)

3. Выразим \( 3^{2x} \):

\( 3^{2x} > 30 · \frac{9}{10} \)

\( 3^{2x} > 3 · 9 \)

\( 3^{2x} > 27 \)

4. Представим 27 как степень тройки: \( 27 = 3^3 \)

\( 3^{2x} > 3^3 \)

5. Так как основание степени (3) больше 1, показатель степени \( 2x \) должен быть больше показателя степени \( 3 \):

\( 2x > 3 \)

\( x > \frac{3}{2} \)

\( x > 1.5 \)

Ответ: \( x > 1.5 \).