5. Разложите на множители многочлен a¹² – b¹², представив его сначала в виде разности квадратов, а затем в виде разности кубов:

Решение:

1. Представление в виде разности квадратов:

\( a^{12} - b^{12} = (a^6)^2 - (b^6)^2 = (a^6 - b^6)(a^6 + b^6) \)

Дальнейшее разложение:

\( a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2 b^2 + (b^2)^2) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2 b^2 + b^4) \)

Итого:

\( a^{12} - b^{12} = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + b^2)(a^4 - a^2 b^2 + b^4) \)

2. Представление в виде разности кубов:

\( a^{12} - b^{12} = (a^4)^3 - (b^4)^3 = (a^4 - b^4)((a^4)^2 + a^4 b^4 + (b^4)^2) = (a^4 - b^4)(a^8 + a^4 b^4 + b^8) \)

Дальнейшее разложение \( a^4 - b^4 \):

\( a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2) \)

Итого:

\( a^{12} - b^{12} = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^8 + a^4 b^4 + b^8) \)

Ответ:

В виде разности квадратов: \( (a^6 - b^6)(a^6 + b^6) \)

В виде разности кубов: \( (a^4 - b^4)(a^8 + a^4 b^4 + b^8) \)