5 Проведите полное исследование функции у = -x^4 - 2x^2 и постройте эскиз графика.

Решение:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
2. Четность/нечетность: \( y(-x) = -(-x)^4 - 2(-x)^2 = -x^4 - 2x^2 = y(x) \). Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
3. Точки пересечения с осями:
   • С OY (при \( x = 0 \)): \( y(0) = -(0)^4 - 2(0)^2 = 0 \). Точка (0; 0).
   • С OX (при \( y = 0 \)): \( -x^4 - 2x^2 = 0 \Rightarrow -x^2(x^2 + 2) = 0 \). Так как \( x^2 ≥ 0 \) и \( x^2 + 2 > 0 \) для всех \( x \), то единственное решение \( x = 0 \). Точка (0; 0).
4. Производная и экстремумы:
   • Находим первую производную: \( y' = -4x^3 - 4x \).
   • Приравниваем к нулю: \( -4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow -4x(x^2 + 1) = 0 \). Единственное решение \( x = 0 \).
   • Исследуем знак производной:
     • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), \( y' = -4(-1)((-1)^2 + 1) = 4(2) = 8 > 0 \) — функция возрастает.
     • При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)), \( y' = -4(1)((1)^2 + 1) = -4(2) = -8 < 0 \) — функция убывает.
   • Следовательно, в точке \( x = 0 \) функция имеет максимум. \( y(0) = 0 \). Максимум в точке (0; 0).
5. Монотонность: Функция возрастает на \( (-\infty; 0] \) и убывает на \( [0; +\infty) \).
6. Выпуклость и точки перегиба:
   • Находим вторую производную: \( y'' = -12x^2 - 4 \).
   • Приравниваем к нулю: \( -12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow -12x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = -4/12 = -1/3 \). Уравнение не имеет действительных решений.
   • Знак второй производной: \( y'' = -12x^2 - 4 \) всегда отрицателен, так как \( -12x^2 ≤ 0 \) и \( -4 \) — отрицательное число.
   • Следовательно, функция всегда выпукла вверх (вогнута) на всей области определения. Точек перегиба нет.
7. Эскиз графика:
   График начинается в \( -∞ \), возрастает до точки (0; 0), где находится максимум, а затем убывает в \( +∞ \). График симметричен относительно оси OY и всегда выпуклый вверх.
   

Ответ: Функция четная. Область определения: \( (-\infty; +\infty) \). Пересекает оси в точке (0; 0). Максимум в точке (0; 0). Возрастает на \( (-\infty; 0] \), убывает на \( [0; +\infty) \). Всегда выпукла вверх. Точек перегиба нет.