2 Найдите точки максимума и минимума функции у = 2x^3-3x^2 - 12x.

Решение:

1. Находим первую производную функции: \( y' = 6x^2 - 6x - 12 \).
2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \). Разделим на 6: \( x^2 - x - 2 = 0 \).
3. Решаем квадратное уравнение: \( (x - 2)(x + 1) = 0 \). Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
4. Находим вторую производную: \( y'' = 12x - 6 \).
5. Проверяем знаки второй производной в критических точках:
   • При \( x = -1 \): \( y''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 < 0 \). Это точка максимума.
   • При \( x = 2 \): \( y''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \). Это точка минимума.
6. Вычисляем значения функции в точках максимума и минимума:
   • Точка максимума: \( y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7 \).
   • Точка минимума: \( y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20 \).

Ответ: Точка максимума: (-1; 7). Точка минимума: (2; -20).