1 Исследуйте функцию у x^3-3x^2 и найдите интервалы возрастания и убывания.

Решение:

1. Находим производную функции: \( y' = 3x^2 - 6x \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \).
3. Точки, в которых производная равна нулю: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
4. Определяем знаки производной на интервалах:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), \( y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \) — функция возрастает.
   • При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)), \( y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \) — функция убывает.
   • При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)), \( y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \) — функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (2; +\infty) \). Функция убывает на интервале \( (0; 2) \).