3 Определите интервалы выпуклости и точки перегиба функции у = x^3-6x^2 + 9x.

Решение:

1. Находим первую производную: \( y' = 3x^2 - 12x + 9 \).
2. Находим вторую производную: \( y'' = 6x - 12 \).
3. Приравниваем вторую производную к нулю: \( 6x - 12 = 0 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2 \).
4. Определяем знаки второй производной на интервалах:
   • При \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)), \( y'' = 6(0) - 12 = -12 < 0 \). Функция выпукла вверх (вогнутая).
   • При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)), \( y'' = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 \). Функция выпукла вниз (выпуклая).
5. Находим значение функции в точке перегиба (при \( x = 2 \)): \( y(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2 \).

Ответ: Точка перегиба: (2; 2). Функция выпукла вверх на интервале \( (-\infty; 2) \), выпукла вниз на интервале \( (2; +\infty) \).