Контрольные задания
Вопрос:

5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена: 1) a² + 8a + 16; 2) 9x² - 6x + 1; 3) 121m² - 88mn + 16n²; 4) 24ab + 36a² + 4b²; 5) a⁶ - 4a³b + 4b²; 6) 25p¹⁰ + q⁸ + 10p⁵q⁴.

Фото задания: 5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена: 1) a² + 8a + 16; 2) 9x² - 6x + 1; 3) 121m² - 88mn + 16n²; 4) 24ab + 36a²…Фото задания

Ответ:

Задание 5. Трёхчлен как квадрат двучлена

Вспомним формулы квадрата суммы и разности:

  • \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
  • \( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \)

Теперь применим их к нашим выражениям:

  1. \( a^2 + 8a + 16 \)
  2. Здесь \( A^2 = a^2 \), значит \( A = a \).
  3. \( B^2 = 16 \), значит \( B = 4 \).
  4. Проверим средний член: \( 2AB = 2 \times a \times 4 = 8a \). Совпадает!
  5. Значит, \( a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2 \).
  6. \( 9x^2 - 6x + 1 \)
  7. \( A^2 = 9x^2 \), значит \( A = 3x \).
  8. \( B^2 = 1 \), значит \( B = 1 \).
  9. Проверим средний член: \( -2AB = -2 \times 3x \times 1 = -6x \). Совпадает!
  10. Значит, \( 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 \).
  11. \( 121m^2 - 88mn + 16n^2 \)
  12. \( A^2 = 121m^2 \), значит \( A = 11m \).
  13. \( B^2 = 16n^2 \), значит \( B = 4n \).
  14. Проверим средний член: \( -2AB = -2 \times 11m \times 4n = -88mn \). Совпадает!
  15. Значит, \( 121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m - 4n)^2 \).
  16. \( 24ab + 36a^2 + 4b^2 \)
  17. Переставим члены: \( 36a^2 + 24ab + 4b^2 \).
  18. \( A^2 = 36a^2 \), значит \( A = 6a \).
  19. \( B^2 = 4b^2 \), значит \( B = 2b \).
  20. Проверим средний член: \( 2AB = 2 \times 6a \times 2b = 24ab \). Совпадает!
  21. Значит, \( 36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a + 2b)^2 \).
  22. \( a^6 - 4a^3b + 4b^2 \)
  23. \( A^2 = a^6 \), значит \( A = a^3 \).
  24. \( B^2 = 4b^2 \), значит \( B = 2b \).
  25. Проверим средний член: \( -2AB = -2 \times a^3 \times 2b = -4a^3b \). Совпадает!
  26. Значит, \( a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3 - 2b)^2 \).
  27. \( 25p^{10} + q^8 + 10p^5q^4 \)
  28. Переставим члены: \( 25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8 \).
  29. \( A^2 = 25p^{10} \), значит \( A = 5p^5 \).
  30. \( B^2 = q^8 \), значит \( B = q^4 \).
  31. Проверим средний член: \( 2AB = 2 \times 5p^5 \times q^4 = 10p^5q^4 \). Совпадает!
  32. Значит, \( 25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8 = (5p^5 + q^4)^2 \).

Ответ: 1) (a + 4)²; 2) (3x - 1)²; 3) (11m - 4n)²; 4) (6a + 2b)²; 5) (a³ - 2b)²; 6) (5p⁵ + q⁴)².