5. Найдите при $$x = -\frac{\pi}{4}$$ значение производной функции $$f(x) = \mathrm{tg} x - 2 \sin x$$.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( f(x) = \mathrm{tg} x - 2 \sin x \).

Производная от \( \mathrm{tg} x \) равна \( \frac{1}{\cos^2 x} \).

Производная от \( -2 \sin x \) равна \( -2 \cos x \).

Таким образом, производная функции \( f'(x) \) равна:

\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 2 \cos x \]

Теперь подставим \( x = -\frac{\pi}{4} \) в выражение для производной.

Значения тригонометрических функций при \( x = -\frac{\pi}{4} \):

• \( \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cos^2(-\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Подставляем найденные значения:

\[ f'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]\[ f'(-\frac{\pi}{4}) = 2 - \sqrt{2} \]

Ответ: $$2 - \sqrt{2}$$.