10. Выясните, является ли прямая $$y = x + 1$$ касательной к графику функции $$y = e^x$$.

Решение:

Чтобы прямая \( y = x + 1 \) была касательной к графику функции \( y = e^x \), должны выполняться два условия в точке касания \( x_0 \):

1. Значения функций в точке \( x_0 \) должны быть равны: \( e^{x_0} = x_0 + 1 \).


2. Значения производных функций в точке \( x_0 \) должны быть равны.

1. Условие равенства значений функций:

Рассмотрим уравнение \( e^{x_0} = x_0 + 1 \). Очевидно, что \( x_0 = 0 \) является решением, так как \( e^0 = 1 \) и \( 0 + 1 = 1 \).

2. Условие равенства производных:

Найдем производную функции \( y = e^x \):

\[ y' = (e^x)' = e^x \]

Производная прямой \( y = x + 1 \) равна:

\[ y' = (x + 1)' = 1 \]

Теперь приравняем производные:

\[ e^{x_0} = 1 \]

Решая это уравнение, получаем \( x_0 = 0 \).

Поскольку \( x_0 = 0 \) удовлетворяет обоим условиям (значения функций равны \( e^0 = 0+1 = 1 \) и значения производных равны \( e^0 = 1 \)), прямая \( y = x + 1 \) является касательной к графику функции \( y = e^x \) в точке \( x = 0 \).

Ответ: Да, является.