1. Решите неравенство $$\frac{(x+11)(2x-5)}{3x} \le 0.$$

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{(x+11)(2x-5)}{3x} \le 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( x+11=0 \implies x = -11 \) и \( 2x-5=0 \implies x = \frac{5}{2} = 2.5 \).
2. Корень знаменателя: \( 3x=0 \implies x = 0 \).
3. Разобьём числовую прямую на интервалы с помощью найденных точек: \( (-\infty, -11] \), \( [-11, 0) \), \( (0, 2.5] \), \( [2.5, +\infty) \).
4. Проверим знак выражения в каждом интервале:
   • При \( x < -11 \) (например, \( x = -12 \)): \(\frac{(-12+11)(2\cdot(-12)-5)}{3\cdot(-12)} = \frac{(-1)(-29)}{-36} = \frac{29}{-36} < 0\).
   • При \( -11 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \(\frac{(-1+11)(2\cdot(-1)-5)}{3\cdot(-1)} = \frac{(10)(-7)}{-3} = \frac{-70}{-3} > 0\).
   • При \( 0 < x < 2.5 \) (например, \( x = 1 \)): \(\frac{(1+11)(2\cdot1-5)}{3\cdot1} = \frac{(12)(-3)}{3} = \frac{-36}{3} < 0\).
   • При \( x > 2.5 \) (например, \( x = 3 \)): \(\frac{(3+11)(2\cdot3-5)}{3\cdot3} = \frac{(14)(1)}{9} = \frac{14}{9} > 0\).
5. Учитывая знак \( \le 0 \), выбираем интервалы, где выражение отрицательное или равно нулю. Знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: \( x \in (-\infty, -11] \cup (0, 2.5] \).