5. \(\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}\)

Решение:

Заметим, что \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \), \( 2+x = x+2 \), а \( 2-x = -(x-2) \). Приведём всё к общему знаменателю \( (x+2)(x-2) \).

1. Исходное уравнение: \( \frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} + \frac{18}{-(x-2)} \)
2. Перепишем с учётом знаков: \( \frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} - \frac{18}{x-2} \)
3. Умножим обе части на \( (x+2)(x-2) \), предполагая, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \): \( (3x-1)(x-2) - 7(x-2) = (7x^2-28) - 18(x+2) \)
4. Раскроем скобки: \( (3x^2 - 6x - x + 2) - (7x - 14) = 7x^2 - 28 - (18x + 36) \)
5. Упростим: \( 3x^2 - 7x + 2 - 7x + 14 = 7x^2 - 28 - 18x - 36 \)
6. Объединим подобные члены: \( 3x^2 - 14x + 16 = 7x^2 - 18x - 64 \)
7. Перенесём все члены в правую часть: \( 0 = 7x^2 - 3x^2 - 18x + 14x - 64 - 16 \)
8. Получим квадратное уравнение: \( 4x^2 - 4x - 80 = 0 \)
9. Разделим на 4: \( x^2 - x - 20 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \).
11. Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
12. \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
13. Проверим, что \( x = -4 \) и \( x = 5 \) не равны 2 и -2. Условия выполняются.

Ответ: x = -4, x = 5.