4. \(\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю \( (x+1)(x-1) \).

1. Исходное уравнение: \( \frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0 \)
2. Умножим обе части на \( (x+1)(x-1) \), предполагая, что \( x \neq -1 \) и \( x \neq 1 \): \( (x+1)(x-1) \cdot \left( \frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} \right) = 0 \cdot (x+1)(x-1) \)
3. Сократим дроби: \( x(x-1) + x(x+1) = 0 \)
4. Раскроем скобки: \( x^2 - x + x^2 + x = 0 \)
5. Упростим: \( 2x^2 = 0 \)
6. Разделим на 2: \( x^2 = 0 \)
7. Извлечём квадратный корень: \( x = 0 \)
8. Проверим, что \( x = 0 \) не равно 1 и -1. Условие выполняется.

Ответ: x = 0.