5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (a + c)(a - c) - b(2a - b) - (a - b + c)(a - b - c) = 0.

Доказательство:

Раскроем скобки по частям выражения:

1. Первое слагаемое: \( (a + c)(a - c) = a^2 - c^2 \) (разность квадратов).
2. Второе слагаемое: \( -b(2a - b) = -2ab + b^2 \).
3. Третье слагаемое: \( -(a - b + c)(a - b - c) \)
   Заметим, что \( (a - b + c)(a - b - c) \) можно представить как \( ((a - b) + c)((a - b) - c) \).
   Это снова разность квадратов: \( (a - b)^2 - c^2 \)
   Раскроем квадрат разности: \( a^2 - 2ab + b^2 - c^2 \).
   Тогда третье слагаемое равно: \( -(a^2 - 2ab + b^2 - c^2) = -a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \).
4. Сложим все полученные выражения:
   \( (a^2 - c^2) + (-2ab + b^2) + (-a^2 + 2ab - b^2 + c^2) \)
   \( a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \)
5. Приведём подобные слагаемые:
   \( (a^2 - a^2) + (-c^2 + c^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

Равенство доказано.