5. Дано: p = a+ab, q = 6a-2b, |a|=1, |b|=2, (a, b) = π/3. Найти: значение α, при котором векторы p и q перпендикулярны.

Решение:

Дано: векторы \( \vec{p} = \vec{a} + \alpha\vec{b} \), \( \vec{q} = 6\vec{a} - 2\vec{b} \). Также известно, что \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 2 \) и угол между \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( \frac{\pi}{3} \) (то есть \( \angle(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\pi}{3} \)).

Векторы \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \( \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \).

1. Вычислим скалярное произведение \( \vec{p} \cdot \vec{q} \):
   \( \vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} + \alpha\vec{b}) \cdot (6\vec{a} - 2\vec{b}) \)
2. Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
   \( = \vec{a} \cdot (6\vec{a}) + \vec{a} \cdot (-2\vec{b}) + (\alpha\vec{b}) \cdot (6\vec{a}) + (\alpha\vec{b}) \cdot (-2\vec{b}) \)
   \( = 6(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6\alpha(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2\alpha(\vec{b} \cdot \vec{b}) \)
3. Вспомним, что \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \), \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \), и \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \). Также, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a},\vec{b})) \).
   \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \)
4. Подставим известные значения в выражение для скалярного произведения:
   \( = 6 |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6\alpha(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2\alpha |\vec{b}|^2 \)
   \( = 6 (1)^2 - 2(1) + 6\alpha(1) - 2\alpha (2)^2 \)
   \( = 6 - 2 + 6\alpha - 2\alpha (4) \)
   \( = 4 + 6\alpha - 8\alpha \)
   \( = 4 - 2\alpha \)
5. Приравняем скалярное произведение к нулю, так как векторы перпендикулярны:
   \( 4 - 2\alpha = 0 \)
6. Решим полученное уравнение относительно \( \alpha \):
   \( 2\alpha = 4 \)
   \( \alpha = \frac{4}{2} \)
   \( \alpha = 2 \)

Ответ: \( \alpha = 2 \).