2. Решить уравнение: log5(5 + 4x) = log5(1 + 4x) + 1

Решение:

Дано уравнение: \( \log_5(5 + 4x) = \log_5(1 + 4x) + 1 \)

1. Приведём уравнение к виду, где все логарифмы будут иметь одинаковое основание. Преобразуем число 1 как \( \log_5 5 \):
   \( \log_5(5 + 4x) = \log_5(1 + 4x) + \log_5 5 \)
2. Используем свойство логарифма произведения \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \) в правой части:
   \( \log_5(5 + 4x) = \log_5(5(1 + 4x)) \)
   \( \log_5(5 + 4x) = \log_5(5 + 20x) \)
3. Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы:
   \( 5 + 4x = 5 + 20x \)
4. Решим полученное линейное уравнение:
   \( 4x = 20x \)
   \( 20x - 4x = 0 \)
   \( 16x = 0 \)
   \( x = 0 \)
5. Проверим ОДЗ (область допустимых значений): аргументы логарифмов должны быть положительны.
   \( 5 + 4x > 0 \) → \( 5 + 4(0) = 5 > 0 \) (верно)
   \( 1 + 4x > 0 \) → \( 1 + 4(0) = 1 > 0 \) (верно)

Ответ: x = 0.