4. Вычислить производную: y(x) = 3x · arctg2x

Решение:

Найдём производную функции \( y(x) = 3x · \arctan(2x) \). Воспользуемся правилом производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \) и производной арктангенса \( (\arctan u)' = \frac{u'}{1+u^2} \).

1. Обозначим \( u = 3x \) и \( v = \arctan(2x) \).
2. Найдём производные \( u' \) и \( v' \):
   \( u' = (3x)' = 3 \)
   Для \( v = \arctan(2x) \), пусть \( w = 2x \), тогда \( w' = 2 \).
   \( v' = (\arctan w)' = \frac{w'}{1+w^2} = \frac{2}{1+(2x)^2} = \frac{2}{1+4x^2} \)
3. Применим правило производной произведения:
   \( y'(x) = u'v + uv' = 3 \cdot \arctan(2x) + 3x \cdot \frac{2}{1+4x^2} \)
4. Упростим выражение:
   \( y'(x) = 3 \arctan(2x) + \frac{6x}{1+4x^2} \)

Ответ: \( y'(x) = 3 \arctan(2x) + \frac{6x}{1+4x^2} \).