5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 36°, ∠ABD=53° и ∠BDC=82°. Найдите углы четырёхугольника.

Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. ∠DAC = ∠DBC = 36°. ∠BAC = ∠BDC = 82°. ∠ADB = ∠ACB. ∠CAD = 36°, ∠BAC = 82°. ∠BAD = ∠CAD + ∠BAC = 36° + 82° = 118°. ∠ABD = 53°, ∠DBC = 36°. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 53° + 36° = 89°. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 118° = 62°. ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 89° = 91°. Проверка: ∠BDC = 82°, ∠ADB = 91° - 82° = 9°. ∠ACB = ∠ADB = 9°. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 9° + ∠ACD = 62°. ∠ACD = 53°. ∠CAD = 36°. В треугольнике ACD: 36° + 53° + 91° = 180°. Углы четырёхугольника: ∠A = 118°, ∠B = 89°, ∠C = 62°, ∠D = 91°.