5. Четвертый член геометрической прогрессии в 4 раза больше ее первого члена. Во сколько раз десятый член этой прогрессии больше ее четвертого члена?

Дано:

• Геометрическая прогрессия (b_n)
• b₄ = 4 * b₁

Найти: Во сколько раз b₁₀ больше b₄?

Решение:

1. Найдем знаменатель прогрессии (q):

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^n-1.

b₄ = b₁ * q^4-1

b₄ = b₁ * q³

По условию, b₄ = 4 * b₁. Приравниваем:

4 * b₁ = b₁ * q³

Разделим обе части на b₁ (предполагая, что b₁ ≠ 0, иначе все члены прогрессии были бы равны 0, и b₄ не мог бы быть в 4 раза больше):

q³ = 4

2. Найдем, во сколько раз b₁₀ больше b₄:

Нам нужно найти отношение b₁₀ / b₄.

b₁₀ = b₁ * q^10-1 = b₁ * q⁹

b₄ = b₁ * q^4-1 = b₁ * q³

Теперь найдем их отношение:

b₁₀ / b₄ = (b₁ * q⁹) / (b₁ * q³)

b₁₀ / b₄ = q⁹ / q³ = q^9-3 = q⁶

Мы знаем, что q³ = 4. Чтобы найти q⁶, возведем обе части в квадрат:

(q³)² = 4²

q⁶ = 16

Ответ: Десятый член этой прогрессии в 16 раз больше ее четвертого члена.