4. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой b₂= и 64=54, если известно, что все ее члены положительны.

Дано:

• Геометрическая прогрессия (b_n)
• b₂ = ? (в условии не указано, предположим, что имелось в виду b₂ = 6)
• b₄ = 54
• Все члены прогрессии положительны.

Найти: Сумму семи первых членов (S₇)

Решение:

1. Найдем знаменатель (q):

b₄ = b₂ * q^4-2

54 = 6 * q²

q² = 54 / 6

q² = 9

q = ±3

Так как все члены прогрессии положительны, то знаменатель q должен быть положительным. Следовательно, q = 3.

2. Найдем первый член (b₁):

b₂ = b₁ * q^2-1

6 = b₁ * 3¹

6 = b₁ * 3

b₁ = 6 / 3 = 2

3. Найдем сумму семи первых членов (S₇):

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Подставим известные значения:

b₁ = 2

q = 3

n = 7

q⁷ = 3⁷ = 2187

S₇ = 2 * (2187 - 1) / (3 - 1)

S₇ = 2 * (2186) / 2

S₇ = 2186

Ответ: S₇ = 2186