5. (1 балл) Найдите sin2a, если cos a = 0,6 и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).

Подставим известное значение \( \cos\alpha = 0.6 \):

\[ \sin^2\alpha + (0.6)^2 = 1 \]

\[ \sin^2\alpha + 0.36 = 1 \]

\[ \sin^2\alpha = 1 - 0.36 \]

\[ \sin^2\alpha = 0.64 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ \sin\alpha = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8 \]

По условию, \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), что означает, что угол \(\alpha\) находится во второй четверти, где синус положителен. Следовательно, \( \sin\alpha = 0.8 \).

Теперь найдём \( \sin 2\alpha \) по формуле двойного угла:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha \]

\[ \sin 2\alpha = 2 \times 0.8 \times 0.6 \]

\[ \sin 2\alpha = 1.6 \times 0.6 = 0.96 \]

Ответ: 0.96.