4. Вычислите: a) \(\frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}}\) б) \(\frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4}\)

Задание 4. Вычислите:

а) \(\frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}}\)

1. В числителе используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\[ \frac{7^{9+11}}{7^{18}} = \frac{7^{20}}{7^{18}} \]

2. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 7^{20-18} = 7^2 \]

\[ 7^2 = 49 \]

Ответ: 49.

б) \(\frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4}\)

1. Упростим числитель:

\[ (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \]

2. Преобразуем знаменатель:

\[ 4 \cdot 36^4 = 2^2 \cdot (6^2)^4 = 2^2 \cdot 6^8 = 2^2 \cdot (2 \cdot 3)^8 = 2^2 \cdot 2^8 \cdot 3^8 = 2^{10} \cdot 3^8 \]

3. Подставим упрощённые выражения в дробь:

\[ \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{10} \cdot 3^8} \]

4. Сократим общие множители \(3^8\) и \(2^{10}\):

\[ \frac{2^{11}}{2^{10}} = 2^{11-10} = 2^1 = 2 \]

Ответ: 2.