4. Прямая АВ параллельна основанию МР равнобедренного треугольника МРК и пересекает его боковые стороны в точках А и В. Найдите неизвестные углы треугольника АВК, если ∠К = 72°, ∠M = 54°.

Решение:

Дано: \( \triangle MPK \) — равнобедренный, $$MP \parallel AB$$, \( \angle K = 72^\circ \), \( \angle M = 54^\circ \).

Найти: неизвестные углы \( \triangle ABK \).

1. В равнобедренном \( \triangle MPK \) сумма углов равна $$180^\circ$$. \( \angle M + \angle P + \angle K = 180^\circ \).
2. Так как \( \triangle MPK \) равнобедренный с основанием $$MP$$, то \( \angle M = \angle P = 54^\circ \).
3. Проверим условие равнобедренности: \( 54^\circ + 54^\circ + 72^\circ = 180^\circ \). Условие верно.
4. Так как $$AB \parallel MP$$, то \( \angle KAB = \angle KMP \) и \( \angle KBA = \angle KPM \) как соответственные углы при параллельных прямых $$AB \parallel MP$$ и секущих $$MK$$ и $$PK$$ соответственно.
5. \( \angle KAB = \angle M = 54^\circ \).
6. \( \angle KBA = \angle P = 54^\circ \).
7. Углы треугольника \( ABK \) равны: \( \angle K = 72^\circ \) (дан), \( \angle KAB = 54^\circ \), \( \angle KBA = 54^\circ \).
8. Проверим сумму углов в \( \triangle ABK \): $$72^\circ + 54^\circ + 54^\circ = 180^\circ$$.

Ответ: \( \angle KAB = 54^\circ, \angle KBA = 54^\circ \).