4. Меньшая диагональ ромба равна его стороне. Найдите площадь ромба, если большая диагональ равна 10 см.

Решение:

1. Свойства ромба:

   У ромба все стороны равны. Диагонали делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны. Диагонали делят углы ромба пополам.

2. Анализ условия:

   Пусть сторона ромба равна \( a \). По условию, меньшая диагональ \( d_1 = a \). Большая диагональ \( d_2 = 10 \) см.

3. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной:

   В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, катеты — это \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \), а гипотенуза — сторона \( a \). Имеем: \( (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \). Подставляем известные значения: \( (\frac{a}{2})^2 + (\frac{10}{2})^2 = a^2 \) \( \frac{a^2}{4} + 5^2 = a^2 \) \( \frac{a^2}{4} + 25 = a^2 \) \( 25 = a^2 - \frac{a^2}{4} \) \( 25 = \frac{3a^2}{4} \) \( a^2 = 25 \times \frac{4}{3} = \frac{100}{3} \) \( a = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.

4. Находим меньшую диагональ:

   \( d_1 = a = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.

5. Находим площадь ромба:

   Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \). \( S = \frac{1}{2} \times \frac{10\sqrt{3}}{3} \times 10 \) \( S = \frac{100\sqrt{3}}{6} = \frac{50\sqrt{3}}{3} \) см².

Ответ: \( \frac{50\sqrt{3}}{3} \) см²