3. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 16:17, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

1. Отношение частей:

   Пусть основание равно \( 16x \) см, а боковая сторона — \( 17x \) см.

2. Использование теоремы Пифагора:

   Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его пополам. Образуются два прямоугольных треугольника, где:

   • Гипотенуза — боковая сторона \( 17x \).
   • Один катет — высота \( h = 30 \) см.
   • Другой катет — половина основания \( \frac{16x}{2} = 8x \).

   По теореме Пифагора: \( (8x)^2 + 30^2 = (17x)^2 \) \( 64x^2 + 900 = 289x^2 \) \( 289x^2 - 64x^2 = 900 \) \( 225x^2 = 900 \) \( x^2 = \frac{900}{225} \) \( x^2 = 4 \) \( x = 2 \) (так как \( x \) — длина, она должна быть положительной).

3. Находим основание:

   Основание \( 16x = 16 \times 2 = 32 \) см.

4. Находим площадь треугольника:

   Площадь \( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \) \( S = \frac{1}{2} \times 32 \text{ см} \times 30 \text{ см} \) \( S = 16 \times 30 \) \( S = 480 \) см².

Ответ: 480 см²