4. Докажите тождество (cos² α - sin² α) / (ctg² α - tg² α) = sin² α

Решение:

Начнём с левой части тождества:

\[ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha} \]

Преобразуем знаменатель, используя определения \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) и \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):

\( \text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \)

Числитель разложим как разность квадратов: \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \). Учитывая, что \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), получаем \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

Теперь подставим обратно в знаменатель:

\( \text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \)

Теперь вся дробь левой части тождества выглядит так:

\( \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \)

При \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \neq 0 \), сокращаем:

\( = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)

Ой, ошибка в расчетах. Проверим еще раз. Начнем с более простого подхода, представив \( \text{ctg}^2 \text{a} \) и \( \text{tg}^2 \text{a} \) через \( \text{sin} \) и \( \text{cos} \) сразу.

Перепроверенное решение:

Начнем с левой части тождества:

\[ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha} \]

Представим \( \text{ctg}^2 \alpha \) и \( \text{tg}^2 \alpha \) через \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \):

\[ \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}, \quad \text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Подставим в знаменатель:

\[ \text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \]

Разложим числитель как разность квадратов: \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \). Так как \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), то \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

Теперь подставим это обратно в знаменатель:

\[ \text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \]

Теперь рассмотрим всю дробь левой части:

\[ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} \]

Умножим числитель на обратную дробь знаменателя:

\[ = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \]

При условии, что \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \neq 0 \), мы можем сократить эту часть:

\[ = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \]

Похоже, в условии задачи ошибка. Давайте попробуем доказать, что \( \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha \).

Если предположить, что правая часть должна быть \( \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha \), то тождество доказано.

Если же правая часть тождества должна быть \( \sin^2 \alpha \), то такого тождества не существует.

Примечание: В исходном задании, вероятно, ошибка в правой части тождества. Если правая часть \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \), то тождество верно.

Ответ: Тождество неверно в предложенном виде. Левая часть равна \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \).