4. (1 балл) Найдите наименьшее из чисел: A) \(\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{3}}\), B) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\), C) \(\sqrt{27}\), D) \(9^{\frac{2}{3}}\)

Решение:

Приведём все числа к одному основанию или вычислим их приближённые значения:

1. \( \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(3^{-2}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{2}{3}} \)
2. \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(3^{-1}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{1}{3}} \)
3. \( \sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = \left(3^3\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} \)
4. \( 9^{\frac{2}{3}} = \left(3^2\right)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} \)

Теперь сравним показатели степеней при основании 3: \( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3} \). Наименьший показатель — \( -\frac{2}{3} \), который соответствует числу \( \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{3}} \).

Ответ: A