37. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = \(\frac{1}{3}x^3\), y = 0; x = 1; x = 2

Решение:

1. На интервале \( [1, 2] \) функция \( y = \frac{1}{3}x^3 \) является положительной, так как \( x \) положительный.
2. Площадь фигуры вычисляется как интеграл функции \( y = \frac{1}{3}x^3 \) от \( x=1 \) до \( x=2 \):

\( S = \int_{1}^{2} \frac{1}{3}x^3 dx \)

Найдем первообразную:

\( \int \frac{1}{3}x^3 dx = \frac{1}{3} \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{12} + C \)

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( [\frac{x^4}{12}]_{1}^{2} = \frac{2^4}{12} - \frac{1^4}{12} \)

\( = \frac{16}{12} - \frac{1}{12} \)

\( = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \)

Ответ: \(\frac{5}{4}\).