29. Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f(x) = 4x - 6x² + 1; A(0;2)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 4x - 6x^2 + 1 \), проинтегрируем \( f(x) \):

\( F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx \)

\( F(x) = 4 \int x dx - 6 \int x^2 dx + \int 1 dx \)

\( F(x) = 4 \frac{x^2}{2} - 6 \frac{x^3}{3} + x + C \)

\( F(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C \)

Теперь воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку \( A(0; 2) \). Это означает, что \( F(0) = 2 \).

\( 2 = 2(0)^2 - 2(0)^3 + 0 + C \)

\( 2 = 0 - 0 + 0 + C \)

\( C = 2 \)

Подставим значение \( C \) в выражение для \( F(x) \):

\( F(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2 \)

Ответ: \( F(x) = -2x^3 + 2x^2 + x + 2 \).