30. Вычислите интеграл: \(\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\( \int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - 2x^{-2}) dx \)

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

\( \int (3x^2 - 4x - 2x^{-2}) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^{-1}}{-1} + C = x^3 - 2x^2 + \frac{2}{x} + C \)

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( [x^3 - 2x^2 + \frac{2}{x}]_{1}^{2} = (2^3 - 2(2)^2 + \frac{2}{2}) - (1^3 - 2(1)^2 + \frac{2}{1}) \)

\( = (8 - 2(4) + 1) - (1 - 2(1) + 2) \)

\( = (8 - 8 + 1) - (1 - 2 + 2) \)

\( = 1 - 1 \)

\( = 0 \)

Ответ: 0.