35. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функции: y = 4x - x², y = 4 - x

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций \( y = 4x - x^2 \) и \( y = 4 - x \):
   \( 4x - x^2 = 4 - x \)
   \( 0 = x^2 - 5x + 4 \)
   Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \).
   \( x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)
   \( x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \>
2. Определим, какая функция находится выше на интервале \( [1, 4] \).
   Возьмем тестовую точку, например \( x = 2 \):
   \( y_1 = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4 \)
   \( y_2 = 4 - 2 = 2 \)
   Значит, \( y = 4x - x^2 \) находится выше.
3. Вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций:

\( S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = \int_{1}^{4} (5x - x^2 - 4) dx \)

Найдем первообразную:

\( \int (5x - x^2 - 4) dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 4x + C \)

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( [\frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 4x]_{1}^{4} = (\frac{5(4)^2}{2} - \frac{4^3}{3} - 4(4)) - (\frac{5(1)^2}{2} - \frac{1^3}{3} - 4(1)) \)

\( = (\frac{5 \cdot 16}{2} - \frac{64}{3} - 16) - (\frac{5}{2} - \frac{1}{3} - 4) \)

\( = (40 - \frac{64}{3} - 16) - (\frac{15 - 2 - 24}{6}) \)

\( = (24 - \frac{64}{3}) - (-\frac{11}{6}) \)

\( = \frac{72 - 64}{3} + \frac{11}{6} \)

\( = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \)

Ответ: \(\frac{9}{2}\).