3. Вычислите: $$3:3\frac{3}{4}+2\frac{2}{5} \cdot 2\frac{1}{2}-3\frac{5}{6}$$

Решение:

1. 1. Деление: $$3 : 3\frac{3}{4}$$
   1. Переведем смешанную дробь в неправильную: $$3\frac{3}{4} = \frac{4\times3+3}{4} = \frac{15}{4}$$.
   2. Выполним деление: $$3 : \frac{15}{4} = 3 \times \frac{4}{15} = \frac{3\times4}{15} = \frac{12}{15}$$.
   3. Сократим дробь: $$\frac{12}{15} = \frac{12\div3}{15\div3} = \frac{4}{5}$$.
2. 2. Умножение: $$2\frac{2}{5} \cdot 2\frac{1}{2}$$
   1. Переведем смешанные дроби в неправильные: $$2\frac{2}{5} = \frac{5\times2+2}{5} = \frac{12}{5}$$ и $$2\frac{1}{2} = \frac{2\times2+1}{2} = \frac{5}{2}$$.
   2. Выполним умножение: $$\frac{12}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{12\times5}{5\times2}$$.
   3. Сократим перед умножением: $$\frac{\cancel{12}^6}{\cancel{5}^1} \times \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{2}^1} = 6$$.
3. 3. Вычитание: Теперь подставим результаты в исходное выражение: $$\frac{4}{5} + 6 - 3\frac{5}{6}$$.
4. 4. Вычитание смешанных дробей: $$6 - 3\frac{5}{6}$$
   1. Представим 6 как смешанную дробь с знаменателем 6: $$6 = 5 + 1 = 5 + \frac{6}{6}$$.
   2. Вычтем: $$5\frac{6}{6} - 3\frac{5}{6} = (5-3) + (\frac{6}{6}-\frac{5}{6}) = 2 + \frac{1}{6} = 2\frac{1}{6}$$.
5. 5. Сложение: Теперь сложим результат первого действия с результатом предыдущего: $$\frac{4}{5} + 2\frac{1}{6}$$.
6. 6. Сложение смешанных дробей:
   1. Переведем смешанную дробь в неправильную: $$2\frac{1}{6} = \frac{6\times2+1}{6} = \frac{13}{6}$$.
   2. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $$\frac{4}{5} = \frac{4\times6}{5\times6} = \frac{24}{30}$$ и $$\frac{13}{6} = \frac{13\times5}{6\times5} = \frac{65}{30}$$.
   3. Сложим дроби: $$\frac{24}{30} + \frac{65}{30} = \frac{24+65}{30} = \frac{89}{30}$$.
   4. Переведем неправильную дробь в смешанную: $$\frac{89}{30} = 2\frac{29}{30}$$ (так как $$30 \times 2 = 60$$, и $$89-60=29$$).

Ответ: $$2\frac{29}{30}$$.