3. Вычислить определенный интеграл: ∫₀³ (2x³ - 7x + 3)dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла сначала найдем первообразную подынтегральной функции \( f(x) = 2x^3 - 7x + 3 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилам интегрирования:

\[ F(x) = \int (2x^3 - 7x + 3) dx = 2 \int x^3 dx - 7 \int x dx + 3 \int dx \]

\[ F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 7 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C \]

\[ F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} - 7 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C \]

\[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{7}{2}x^2 + 3x + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

В нашем случае \( a=0 \) и \( b=3 \). Возьмем \( C=0 \) для удобства.

\[ \int_{0}^{3} (2x^3 - 7x + 3) dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 - \frac{7}{2}x^2 + 3x \right]_{0}^{3} \]

\[ = \left( \frac{1}{2}(3)^4 - \frac{7}{2}(3)^2 + 3(3) \right) - \left( \frac{1}{2}(0)^4 - \frac{7}{2}(0)^2 + 3(0) \right) \]

\[ = \left( \frac{1}{2}(81) - \frac{7}{2}(9) + 9 \right) - (0) \]

\[ = \frac{81}{2} - \frac{63}{2} + 9 \]

\[ = \frac{81 - 63}{2} + 9 \]

\[ = \frac{18}{2} + 9 \]

\[ = 9 + 9 = 18 \]

Ответ: 18.