2. Найти стационарные точки, точки экстремума и промежутки монотонности для функции f(x) = 4x² - 6x - 10.

Решение:

1. Находим стационарные точки:

Для этого найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - 6x - 10) = 8x - 6 \]

Приравниваем производную к нулю:

\[ 8x - 6 = 0 \]

\[ 8x = 6 \]

\[ x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Стационарная точка: \( x = \frac{3}{4} \).

2. Находим точки экстремума:

Исследуем знак производной слева и справа от стационарной точки \( x = \frac{3}{4} \).

• При \( x < \frac{3}{4} \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 8(0) - 6 = -6 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > \frac{3}{4} \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 8(1) - 6 = 2 > 0 \). Функция возрастает.

Так как производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = \frac{3}{4} \), эта точка является точкой минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 4\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{4}\right) - 10 \]

\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 4\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{18}{4} - 10 \]

\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{40}{4} \]

\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9 - 18 - 40}{4} = \frac{-49}{4} \]

Точка минимума: \( \left(\frac{3}{4}; -\frac{49}{4}\right) \).

3. Определяем промежутки монотонности:

• Функция убывает на промежутке: \( \left(-\infty; \frac{3}{4}\right] \)
• Функция возрастает на промежутке: \( \left[\frac{3}{4}; +\infty\right) \)

Ответ: Стационарная точка x = 3/4. Точка минимума (3/4, -49/4). Функция убывает на (-∞; 3/4], возрастает на [3/4; +∞).