1. Решить логарифмическое уравнение: log(5x + 1) = -2

Решение:

Логарифмическое уравнение имеет вид: \( \log_{b}{a} = c \Leftrightarrow b^c = a \).

В нашем случае: \( \log_{b}(5x + 1) = -2 \).

Перепишем уравнение в показательной форме:

\[ 5x + 1 = b^{-2} \]

Для решения уравнения нам не хватает основания логарифма \( b \). Предположим, что основание равно 10, так как оно не указано (десятичный логарифм).

Тогда:

\[ 5x + 1 = 10^{-2} \]

\[ 5x + 1 = \frac{1}{100} \]

\[ 5x = \frac{1}{100} - 1 \]

\[ 5x = \frac{1 - 100}{100} \]

\[ 5x = -\frac{99}{100} \]

\[ x = -\frac{99}{100 \cdot 5} \]

\[ x = -\frac{99}{500} \]

Проверим условие существования логарифма: \( 5x + 1 > 0 \).

\[ 5 \left(-\frac{99}{500}\right) + 1 = -\frac{99}{100} + 1 = \frac{-99 + 100}{100} = \frac{1}{100} > 0 \]

Условие выполнено.

Ответ: x = -99/500.