3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 18, sin A = \( \frac{\sqrt{35}}{6} \). Найдите длину стороны AC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( \text{sin A} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \)
• \( \text{cos A} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \)

Из условия известно, что \( \text{sin A} = \frac{\sqrt{35}}{6} \) и \( AB = 18 \).

Найдем \( BC \):

\[ BC = AB \cdot \text{sin A} = 18 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 3\sqrt{35} \]

Для нахождения \( AC \) нам нужен \( \text{cos A} \). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[ \text{sin}^2 A + \text{cos}^2 A = 1 \]

\[ \text{cos}^2 A = 1 - \text{sin}^2 A = 1 - \left( \frac{\sqrt{35}}{6} \right)^2 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36} \]

Так как \( A \) — острый угол в прямоугольном треугольнике, \( \text{cos A} > 0 \). Следовательно,

\[ \text{cos A} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6} \]

Теперь найдем \( AC \):

\[ AC = AB \cdot \text{cos A} = 18 \cdot \frac{1}{6} = 3 \]

Ответ: AC = 3.