№3. Решите уравнения: б) 9^x - 3^(x+1) = 54

Уравнение: \(9^x - 3^{x+1} = 54\). Запишем 9 как \(3^2\): \((3^2)^x - 3^x \cdot 3^1 = 54\). Получаем: \((3^x)^2 - 3 \cdot 3^x = 54\). Сделаем замену: пусть \(y = 3^x\). Тогда уравнение примет вид: \(y^2 - 3y = 54\). Перенесём 54 влево: \(y^2 - 3y - 54 = 0\). Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225\). Корни: \(y_1 = \frac{3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{3+15}{2} = 9\), \(y_2 = \frac{3 - \sqrt{225}}{2} = \frac{3-15}{2} = -6\). Вернёмся к замене: \(3^x = 9\) или \(3^x = -6\). Первое уравнение: \(3^x = 3^2\), следовательно \(x = 2\). Второе уравнение \(3^x = -6\) не имеет решений, так как \(3^x\) всегда положительное. Ответ: \(x = 2\)