3. Решите уравнение х + 1 = √x + 13.

Решение:

Решим уравнение \(x + 1 = \sqrt{x + 13}\).

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \((x + 1)^2 = x + 13\).
2. Раскроем скобки: \(x^2 + 2x + 1 = x + 13\).
3. Перенесём все члены в одну сторону: \(x^2 + 2x - x + 1 - 13 = 0\).
4. \(x^2 + x - 12 = 0\).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\).
6. Корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).
7. Проверим корни в исходном уравнении:
• При \(x = 3\): \(3 + 1 = \sqrt{3 + 13} \rightarrow 4 = \sqrt{16} \rightarrow 4 = 4\). Корень \(x = 3\) подходит.
• При \(x = -4\): \(-4 + 1 = \sqrt{-4 + 13} \rightarrow -3 = \sqrt{9} \rightarrow -3 = 3\). Корень \(x = -4\) не подходит, так как \(-3 \neq 3\).

Ответ: \(x = 3\).