14. Вычислите определенный интеграл: ∫³ ₂ (x²-3x+2)(2+x) : (x - 1)dx

Решение:

Вычислим определенный интеграл \(\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 3x + 2)(x + 2)}{x - 1} dx\).

1. Разложим квадратный трехчлен \(x^2 - 3x + 2\) на множители. Корни уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\) равны 1 и 2.
2. \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\).
3. Подставим разложение в интеграл:
4. \(\int_{2}^{3} \frac{(x - 1)(x - 2)(x + 2)}{x - 1} dx\).
5. Сократим \((x - 1)\) (так как \(x \neq 1\) в пределах интегрирования):
6. \(\int_{2}^{3} (x - 2)(x + 2) dx\).
7. Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
8. \(\int_{2}^{3} (x^2 - 4) dx\).
9. Найдем первообразную: \(\frac{x^3}{3} - 4x\).
10. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
11. \(\left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2 \right)\).
12. \(= \left( \frac{27}{3} - 12 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right)\).
13. \(= (9 - 12) - (\frac{8}{3} - \frac{24}{3})\).
14. \(= -3 - (-\frac{16}{3})\).
15. \(= -3 + \frac{16}{3}\).
16. \(= -\frac{9}{3} + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}\).

Ответ: \(\frac{7}{3}\).