3) \( \left[ \left( 1 \frac{1}{2} + 2 \frac{2}{3} \right) : 3 \frac{3}{4} - 2 \frac{2}{5} \right] : 8 \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \)

Решение:

1. Сложение в первых скобках:

\[ 1 \frac{1}{2} + 2 \frac{2}{3} = \frac{3}{2} + \frac{8}{3} = \frac{9 + 16}{6} = \frac{25}{6} \]

2. Деление:

\[ \frac{25}{6} : 3 \frac{3}{4} = \frac{25}{6} : \frac{15}{4} = \frac{25}{6} \cdot \frac{4}{15} = \frac{25 \cdot 4}{6 \cdot 15} = \frac{100}{90} = \frac{10}{9} \]

3. Вычитание:

\[ \frac{10}{9} - 2 \frac{2}{5} = \frac{10}{9} - \frac{12}{5} = \frac{50 - 108}{45} = \frac{-58}{45} \]

4. Деление:

\[ \frac{-58}{45} : 8 \frac{1}{9} = \frac{-58}{45} : \frac{73}{9} = \frac{-58}{45} \cdot \frac{9}{73} = \frac{-58 \cdot 9}{45 \cdot 73} = \frac{-58}{5 \cdot 73} = \frac{-58}{365} \]

5. Сложение:

\[ \frac{-58}{365} + \frac{1}{4} = \frac{-58 \cdot 4 + 365 \cdot 1}{1460} = \frac{-232 + 365}{1460} = \frac{133}{1460} \]

Ответ: \( \frac{133}{1460} \)