3.4 В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Дано:

• Равнобедренная трапеция.
• Угол при основании $$45^\circ$$.
• Большее основание = 14.
• Высота = 5.

Найти: Меньшее основание.

Решение:

1. Пусть большее основание равно $$b=14$$, меньшее основание равно $$a$$.
2. Высота трапеции $$h=5$$.
3. Угол при основании $$45^\circ$$.
4. Проведем две высоты из концов меньшего основания к большему основанию. Эти высоты разделят большее основание на три отрезка: два равных отрезка у боковых сторон и средний отрезок, равный меньшему основанию $$a$$.
5. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных высотой, боковой стороной и отрезком большего основания.
6. В этом треугольнике угол при основании равен $$45^\circ$$, а высота $$h=5$$.
7. Так как один из углов равен $$45^\circ$$, то второй острый угол равен $$90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$.
8. Следовательно, этот треугольник — прямоугольный и равнобедренный.
9. Значит, отрезок большего основания, прилежащий к боковой стороне, равен высоте.

\[ ext{отрезок} = h = 5 \]

Таким образом, каждый из двух боковых отрезков большего основания равен $$5$$.

8. Большее основание $$b$$ состоит из трех отрезков:

\[ b = ext{отрезок} + a + ext{отрезок} \]

\[ 14 = 5 + a + 5 \]

\[ 14 = 10 + a \]

\[ a = 14 - 10 = 4 \]

Меньшее основание равно $$4$$.

Ответ: 4.