3.13 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Дано:

• Прямоугольный треугольник
• Катет $$a = 10$$
• Угол $$A = 45^\circ$$
• Угол $$C = 90^\circ$$

Найти: Площадь треугольника $$S$$

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике угол, лежащий напротив катета, равен $$45^\circ$$. Это означает, что второй острый угол равен $$90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$.
2. Поскольку оба острых угла равны $$45^\circ$$, треугольник является равнобедренным. Следовательно, второй катет $$b$$ равен первому катету $$a$$, то есть $$b=10$$.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50 \]

Ответ: 50