3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \( 64^{3x-1} \geq (\frac{1}{8})^{2x-10} \) 2) \( (7x - 14)(6 + 3x) \leq 0 \) 3) \( \log_5(3 - 2x) < -2 \)

Решение:

1. Решим неравенство \( 64^{3x-1} \geq (\frac{1}{8})^{2x-10} \):
   • \( (2^6)^{3x-1} \geq (2^{-3})^{2x-10} \)
   • \( 2^{18x-6} \geq 2^{-6x+30} \)
   • Так как основание степени \( 2 > 1 \), то показатель степени первого выражения больше или равен показателю второго:
   • \( 18x - 6 \geq -6x + 30 \)
   • \( 24x \geq 36 \)
   • \( x \geq \frac{36}{24} = \frac{3}{2} \)
2. Решим неравенство \( (7x - 14)(6 + 3x) \leq 0 \):
   • Найдем корни уравнения \( (7x - 14)(6 + 3x) = 0 \):
   • \( 7x - 14 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \)
   • \( 6 + 3x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -2 \)
   • Метод интервалов:
   • \( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \) — положительные значения.
   • \( [-2, 2] \) — отрицательные значения.
   • Неравенство \( \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-2, 2] \).
3. Решим неравенство \( \log_5(3 - 2x) < -2 \):
   • ОДЗ: \( 3 - 2x > 0 \) \( \Rightarrow \) \( 3 > 2x \) \( \Rightarrow \) \( x < \frac{3}{2} \)
   • \( 3 - 2x < 5^{-2} \)
   • \( 3 - 2x < \frac{1}{25} \)
   • \( 3 - \frac{1}{25} < 2x \)
   • \( \frac{75 - 1}{25} < 2x \)
   • \( \frac{74}{25} < 2x \)
   • \( x > \frac{74}{50} = \frac{37}{25} \)
   • Учитывая ОДЗ \( x < \frac{3}{2} = \frac{37.5}{25} \), получаем \( \frac{37}{25} < x < \frac{3}{2} \).

Ответ: 1) \( x \geq \frac{3}{2} \); 2) \( x \in [-2, 2] \); 3) \( x \in (\frac{37}{25}, \frac{3}{2}) \).