262. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ и } \triangle A_1B_1C_1 \]
• \[ \angle A = 90^°, \angle A_1 = 90^° \]
• BD - биссектриса \[ \angle B \]
• B_1D_1 - биссектриса \[ \angle B_1 \]
• \[ \angle B = \angle B_1 \]
• \[ BD = B_1D_1 \]

Доказать:

• \[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \]

Доказательство:

1. Так как BD - биссектриса \[ \angle B \], то \[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B \].
2. Аналогично, так как B_1D_1 - биссектриса \[ \angle B_1 \], то \[ \angle A_1B_1D_1 = \angle D_1B_1C_1 = \frac{1}{2} \angle B_1 \].
3. По условию \[ \angle B = \angle B_1 \], следовательно, \[ \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle B_1 \], то есть \[ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 \].
4. Рассмотрим треугольники ABD и A_1B_1D_1.
5. \[ \angle A = \angle A_1 = 90^° \] (по условию).
6. \[ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 \] (доказано выше).
7. \[ BD = B_1D_1 \] (по условию).
8. Таким образом, \[ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 \] по гипотенузе и острому углу (II признак равенства прямоугольных треугольников).
9. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \[ AB = A_1B_1 \].
10. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A_1B_1C_1.
11. \[ \angle A = \angle A_1 = 90^° \] (по условию).
12. \[ \angle B = \angle B_1 \] (по условию).
13. \[ AB = A_1B_1 \] (доказано выше).
14. Следовательно, \[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \] по двум углам и прилежащей стороне (II признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.