259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC)
• \[ \angle B = 120^° \]
• Высота BH к боковой стороне AC, BH = 9 см

Найти:

• AC

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. \[ \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^° - 120^°}{2} = \frac{60^°}{2} = 30^° \]
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. \[ \angle BCH = 30^° \], \[ BH = 9 \text{ см} \].
4. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
5. \[ BH = \frac{1}{2} BC \]
6. \[ 9 = \frac{1}{2} BC \]
7. \[ BC = 18 \text{ см} \]
8. Так как треугольник равнобедренный, \[ AB = BC = 18 \text{ см} \].
9. Теперь найдем основание AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
10. \[ \angle BAH = 30^° \], \[ AB = 18 \text{ см} \].
11. \[ BH = AB \sin(30^°) = 18 × \frac{1}{2} = 9 \text{ см} \] (это совпадает с условием).
12. \[ AH = AB \cos(30^°) = 18 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} \].
13. Так как BH - высота к боковой стороне, то H - точка на AC.
14. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Однако, BH - высота к боковой стороне.
15. Рассмотрим треугольник BHC. \[ \angle HBC = 90^° - 30^° = 60^° \].
16. В треугольнике ABC: \[ \angle ABC = 120^° \].
17. \[ \angle ABH = \angle ABC - \angle HBC = 120^° - 60^° = 60^° \].
18. Рассмотрим треугольник ABH. \[ \angle BAH = 30^° \], \[ \angle ABH = 60^° \], \[ \angle AHB = 90^° \].
19. \[ AH = AB \cos(30^°) = 18 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} \].
20. \[ BH = AB \sin(30^°) = 18 × \frac{1}{2} = 9 \text{ см} \] (совпадает).
21. Теперь найдем HC. В треугольнике BHC: \[ \angle BCH = 30^° \], \[ \angle HBC = 60^° \], \[ \angle BHC = 90^° \].
22. \[ HC = BC \cos(30^°) = 18 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} \].
23. Основание AC = AH + HC = 9\(\sqrt{3}\) + 9\(\sqrt{3}\) = 18\(\sqrt{3}\) \(\text{ см}\) \].

Ответ:

• \[ 18\sqrt{3} \text{ см} \]