258. Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите АМ, если АВ = 12 см.

Дано:

• Равносторонний треугольник ABC
• AB = 12 см
• D - середина BC
• DM \(\perp\) AC

Найти:

• AM

Решение:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны 60°.
2. Так как D - середина BC, то \[ BD = DC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ см} \].
3. DM - высота треугольника ADC, проведенная из вершины D к стороне AC.
4. В равностороннем треугольнике ABC, высота, медиана и биссектриса, проведенные из вершины A к стороне BC, совпадают. Аналогично для других вершин.
5. Рассмотрим треугольник CDM. \[ \angle C = 60^° \].
6. DM является перпендикуляром к AC, значит \[ \angle DMC = 90^° \].
7. В прямоугольном треугольнике CDM: \[ CM = DC \cos(60^°) = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \text{ см} \].
8. AC = AB = BC = 12 см.
9. AM = AC - CM = 12 - 3 = 9 см.

Ответ: 9 см