26. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 7, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 4.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — параллелограмм.

\( AK \) — биссектриса \( \angle DAB \).

\( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \).

\( \angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ} \) (как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма).

Так как \( AK \) и \( BK \) — биссектрисы, то \( \angle KAB = \frac{1}{2} \angle DAB \)

и \( \angle KBA = \frac{1}{2} \angle ABC \).

Сумма углов в треугольнике \( ABK \):

\( \angle AKB + \angle KAB + \angle KBA = 180^{\circ} \)

\( \angle AKB + \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle ABC = 180^{\circ} \)

\( \angle AKB + \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ABC) = 180^{\circ} \)

\( \angle AKB + \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 180^{\circ} \)

\( \angle AKB + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Значит, треугольник \( ABK \) — прямоугольный.

Расстояние от точки \( K \) до стороны \( AB \) равно 4. Это высота прямоугольного треугольника \( ABK \), проведённая из вершины прямого угла \( K \) к гипотенузе \( AB \). Обозначим это расстояние как \( h_K = 4 \).

Точка \( K \) является точкой пересечения биссектрис углов \( A \) и \( B \). Из свойств биссектрис в параллелограмме следует, что \( K \) лежит на середине стороны \( AB \). Это не совсем так. Биссектрисы смежных углов пересекаются под прямым углом. И если \( K \) — точка пересечения биссектрис смежных углов, то расстояние от \( K \) до стороны \( AB \) равно половине стороны \( AB \).

Пусть \( AB = a \).

Тогда расстояние от \( K \) до \( AB \) равно \( \frac{a}{2} \).

По условию, это расстояние равно 4. Значит, \( \frac{a}{2} = 4 \), откуда \( a = 8 \).

Таким образом, сторона \( AB = 8 \).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \( CD = AB = 8 \).

По условию, \( BC = 7 \). Следовательно, \( AD = BC = 7 \).

Высота параллелограмма, опущенная из \( K \) на \( AB \), равна 4.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Площадь \( S = AB · h_{AB} \), где \( h_{AB} \) — высота, проведённая к стороне \( AB \).

Мы нашли, что \( AB = 8 \).

Расстояние от \( K \) до \( AB \) равно 4. Это означает, что высота параллелограмма, проведённая к стороне \( AB \), равна 4.

\( S = 8 · 4 = 32 \).

Ответ: 32.